参考书籍为： 本篇博客是关于书中第八章的内容，下面开始即为正文。

1、rank(A)≤rank(A-)：因为rank(A)=rank(AA-A)≤rank(AA-)≤rank(A-)。

2、减号逆的性质：设A∈Cm×n，λ∈R则：

(1) (AT)-=(A-)T，(AH)-=(A-)H；

(2) 若m=n，且rank(A)=n时，有A-=A-1，且此时A-唯一；

(3) (λA)-=λ+A-，其中λ∈R，λ+为： (4) 设S∈Cm×m，rank(S)=m，T∈Cn×n，rank(T)=n，且B=SAT，则(SAT)-=T-1A-S-1。

1、伪逆矩阵A+唯一：证明：设X、Y都是A的伪逆矩阵，即X，Y都满足Penrose方程的四个等式，所以X=XAX=XAYAX=X(AY)H(АХ)H=X(AXAY)H=X(AY)H=XAY=XAYAY=(XA)H(YA)HY=(YAXA)HY=(YA)HY=YAY=Y，证毕。

2、加号逆的性质：设A∈Cm×n，λ∈R则：

(1) (AT)+=(A+)T，(AH)+=(A+)H；

(2) 若m=n，且rank(A)=n时，有A+=A-1；

(3) (λA)+=λ+A+，其中λ∈R，λ+为： (4) 设S∈Cm×m，rank(S)=m，T∈Cn×n，rank(T)=n，且B=SAT，则(SAT)+=T-1A+S-1；

(5) (A+)+=A；

(6) (AAH)+=(AH)+A+=(A+)HA+，(AHA)+=A+(AH)+=A+(A+)H；

(7) A+=AH(AAH)+=(AHA)+AH。证明过程：A+=A+AA+=(A+A)HA+=AH(A+)HA+=AH(AAH)+，A+=A+AA+=A+(AA+)H=A+(A+)HAH=(AHA)+AH，证毕。

3、对角矩阵的加号逆：若A=diag(λ1,λ2,…,λn)，则A+=diag(μ1,μ2,…,μn)，其中μi为：① λi≠0时，μi=λi-1；② λi=0时，μi=0。

1、相容方程组的最小模解：相容方程组在一般情况下解是不唯一的，在这些解中，方程组的最小模解(或称最小范数解)在实际应用中是十分有用的。称相容方程组Ax=b的所有解x中模(2-范数)最小的解是Ax=b的最小模解，其中x的2-范数是||x||=sqrt(xHx)。设B是A∈Cm×n的一个广义逆矩阵，则下列两个命题是等价的：

(1) 对于任给b∈R(A)，则x=Bb一定是Ax=b的最小模解；

(2) (BA)H=BA。

1、矩阵的逆：若A∈Cn×n，且A为可逆矩阵，则：

① AA-1A=A；

② A-1AA-1=A-1；

③ (AA-1)H=AA-1；

④ (A-1A)H=A-1A。

2、Penrose方程：若A∈Cm×n，以下矩阵方程称为Penrose方程：

① AXA=A；

② XAX=X；

③ (AX)H=AX；

④ (XA)H=XA。

满足Penrose方程中一个或多个的X∈Cn×m称为A的一种广义逆矩阵，其中满足①的广义逆矩阵称为减号逆，记为A-，满足①②③④的广义逆矩阵称为加号逆，记为A+。教材上称减号逆A-为广义逆，称加号逆A+为伪逆。

3、减号逆存在定理：A∈Cm×n，则减号逆A-一定存在，且不唯一。证明过程如下： 4、减号逆的求解：A∈Cm×n，则： 举个栗子：矩阵A为： 而： 故矩阵P、Q为： 则： 5、矩阵的左逆与右逆：设A∈Cm×n：

（1）若存在矩阵B∈Cn×m，使得BA=Ⅰn，则称B是A的左逆，记AL-1=B，称A左可逆；

（2）若存在矩阵B∈Cn×m，使得AB=Ⅰm，则称B是A的右逆，记AR-1=B，称A右可逆；

（3）若A是满秩方阵，则A-1=AL-1=AR-1。

1、列满秩矩阵存在左逆：设A∈Cm×n，rank(A)=n，即A是列满秩矩阵，则A存在左逆，AL-1=(AHA)-1AH。证明过程如下： 2、行满秩矩阵存在右逆：设A∈Cm×n，rank(A)=m，即A是行满秩矩阵，则A存在右逆，AR-1=AH(AAH)-1。证明过程如下： 3、加号逆存在定理：设A∈Cm×n，A=BC是A的一个满秩分解，其中B为列满秩矩阵，则B存在左逆，且BL-1=(BHB)-1BH，C为行满秩矩阵，则C存在右逆，且CR-1=CH(CCH)-1，则X=CR-1·BL-1=CH(CCH)-1(BHB)-1BH是A的加号逆A+，也称为伪逆矩阵。

1、相容非齐次线性方程组解的结构：A∈Cm×n，若Ax=b有解，则通解为x=A-b+(Ⅰn-A-A)·t，其中Ⅰn是n阶单位阵，t∈Cn。显然Ax=b的通解等于Ax=0的通解加上Ax=b的一个特解。而x=A-b为Ax=b的一个特解，x=(Ⅰn-A-A)·t为Ax=0的通解，代入验证确实是这样。

2、非齐次线性方程组的相容性：A∈Cm×n，Ax=b有解⇔b=AA-b。证明过程如下： 3、最小二乘解的通解：A∈Cm×n，b∈Cm，则Ax=b的最小二乘解的通解为x=A+b+(Ⅰn-A+A)·t，其中Ⅰn是n阶单位阵，t∈Cn。

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